Một dạng toàn phương trên một trường K là một ánh xạ q : V → K {\displaystyle q:V\to K} từ một không gian vectơ hữu hạn chiều trên K vào K sao cho tồn tại một dạng song tuyến tính η : V × V → K {\displaystyle \eta :V\times V\to K} thỏa mãn

• q ( u ) = η ( u , u ) {\displaystyle q(u)=\eta (u,u)} [1]

Hệ quả: với mọi a ∈ K , v ∈ V {\displaystyle a\in K,v\in V} , q ( a v ) = a 2 q ( v ) {\displaystyle q(av)=a^{2}q(v)} .

Cụ thể hơn, ta có một biểu diễn dưới dạng đa thức:

q ( x 1 , … , x n ) = ∑ i = 1 n ∑ j = 1 n a i j x i x j , a i j ∈ K . {\displaystyle q(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum _{i=1}^{n}\sum _{j=1}^{n}a_{ij}{x_{i}}{x_{j}},\quad a_{ij}\in K.}

Sử dụng ma trận A = (aij), ta có thể viết lại công thức trên dưới dạng

q ( x ) = x T A x . {\displaystyle q(x)=x^{\mathrm {T} }Ax.}

Nếu đặc số của trường K khác 2

• Ma trận hệ số A của q có thể được thay thế bằng ma trận đối xứng (A + AT)/2.
• Dạng song tuyến tính η {\displaystyle \eta } có thể được tính theo q {\displaystyle q} : η ( α , β ) = 1 2 ( q ( α + β ) − q ( α ) − q ( β ) ) {\displaystyle \eta (\alpha ,\beta )={\frac {1}{2}}(q(\alpha +\beta )-q(\alpha )-q(\beta ))} [1]